Problem trzech ciał, a szerzej problem wielu ciał, ma szerokie zastosowanie w nauce. Znajdziemy go w fizyce statystycznej i kwantowej, w mechanice płynów i nieba. Zrozumienie, jak elektrony w metalach lub półprzewodnikach oddziałują ze sobą i z atomami sieci krystalicznej, pozwala na projektowanie nowych materiałów o przydatnych właściwościach elektrycznych, magnetycznych czy mechanicznych. Ale zacznijmy od początku! 

Problem trzech ciał to klasyczne zagadnienie z mechaniki. Odnosi się ono do sytuacji, w której trzy obiekty oddziałują ze sobą nawzajem, np. grawitacyjnie. Jednocześnie jest to jeden z najprostszych przypadków tzw. chaosu deterministycznego. [1]

Chaos deterministyczny to pojęcie odnoszące się do takich układów, których zachowanie wydaje się całkowicie chaotyczne, mimo że zachowanie każdego z elementów jest możliwe do dokładnego opisania. Objawia się to również tym, że minimalna zmiana warunków początkowych może mieć ogromny wpływ na zachowanie układu. [2] Choć zdarzają się kontrprzykłady, zazwyczaj pozorny chaos wynika z tego, że równania i zależności opisujące układ są bardzo skomplikowane. Do tego stopnia, że często niemożliwe jest nawet uzyskanie dokładnego rozwiązania analitycznego, a jedynie jego numeryczne przybliżenie. [3] Tu właśnie pojawia się niezwykłość problemu trzech ciał. Choć wiele tego typu układów jesteśmy w stanie rozwiązać z dużą dokładnością, to już tak prosty, wydawałoby się, układ przejawia tendencje chaotyczne, a w wielu przypadkach rozwiązanie jest całkowicie niemożliwe bez zaawansowanych metod numerycznych. [4] Układy trzech i więcej ciał mogą, ale nie muszą zachowywać się chaotycznie [1]. Dobrym przykładem jest Układ Słoneczny. Stworzony jest z ogromnej liczby elementów, z których każdy oddziałuje na każdego, a pełne rozwiązanie analityczne jest absolutnie niewyobrażalne! Jednak przy użyciu pewnych przybliżeń, jesteśmy w stanie bardzo dokładnie wyliczyć trajektorie wielu obiektów. [5]

Przyjrzyjmy się konfiguracji układu Słońce-Ziemia-Księżyc. Jest to modelowy układ trzech ciał, jednak chaosu jest w nim bardzo mało. Wynika to z faktu ogromnych różnic w masie tych trzech obiektów. Dzięki temu układ ten możemy rozpatrywać jako Ziemię okrążającą Słońce i Księżyc okrążający Ziemię. Przybliżenie to jest dobre dlatego, że można pokazać, że wpływ innych obiektów w Układzie Słonecznym nie zmienia trwale trajektorii ani Ziemi, ani Księżyca. Podobne przybliżenie jest poprawne również dla pozostałych planet Układu Słonecznego i jest tym, co odróżnia planety od planet karłowatych. W pewnym sensie Pluton został ofiarą problemu trzech ciał. [6]

Ruch planet jest przykładem układu wielu ciał pozbawionego chaosu. Możemy jednak znaleźć w Układzie Słonecznym inne obiekty jak np. Zoozve, czyli quasi-księżyc Wenus. Jest to obiekt, który porusza się w polu grawitacyjnym Wenus, jednak jest od niej na tyle odległy, że wpływ mają na niego również Ziemia, Merkury i Słońce. Powoduje to, że orbita Zoozve mocno zmienia się w czasie i za około 500 lat opuści Wenus. [7]

Kilka faktów o problemie wielu ciał:

1. Nieliniowość równań: Równania ruchu dla trzech ciał są nieliniowe, co oznacza, że zależności między zmiennymi nie są prostymi proporcjami, przez co rozwiązanie układu takich równań staje  o wiele trudniejsze. Nie można ich prosto zsumować lub uprościć tak jak równań liniowych. Nieliniowość prowadzi także do tego, że małe zmiany w warunkach początkowych mogą powodować bardzo duże różnice w zachowaniu systemu, co jest cechą charakterystyczną systemów chaotycznych.
2. Brak ogólnego rozwiązania w postaci zamkniętej: Choć dla problemu dwóch ciał istnieją proste rozwiązania (jak prawa Keplera dla ruchu planetarnego), dla trzech ciał rozwiązania takie nie zawsze są możliwe. Henri Poincaré, francuski matematyk, jako pierwszy udowodnił na przełomie XIX i XX wieku [2], że nie istnieje pojedyncze, ogólne rozwiązanie analityczne dla problemu trzech ciał w postaci zamkniętej tzn. składające się ze skończonego ciągu podstawowych działań i funkcji. Oznacza to m.in., że trzy ciała rzadko kiedy poruszają się po ładnych krzywych, jak np. elipsa. Prace Poincarégo ujawniły fundamentalną złożoność problemu i doprowadziły do rozwoju teorii chaosu. Niedługo później udało znaleźć się ogólne rozwiązanie, ale okazało się okropnie niewygodne do liczenia (Twierdzenie Sundmana) [1].
3. Zastosowania praktyczne: Problem trzech ciał ma kluczowe znaczenie w projektowaniu misji kosmicznych. Na przykład, inżynierowie korzystają z punktów libracyjnych – specyficznych punktów w przestrzeni, gdzie można umieścić satelitę, tak żeby jego orbita była stabilna. Zrozumienie interakcji w ramach trzech i więcej ciał pozwala na planowanie trajektorii lotów kosmicznych z minimalnym zużyciem paliwa, a także umożliwia podróż w znacznie odleglejsze zakątki Układu Słonecznego.
4. Rozwiązania numeryczne i symulacje: W erze komputerów, naukowcy mogą używać zaawansowanych technik numerycznych do symulacji trajektorii w problemach wielu ciał. Symulacje te są niezbędne w wielu dziedzinach nauki i inżynierii, od przewidywania ruchu asteroid, które mogą zagrozić Ziemi, po modelowanie ewolucji całych galaktyk [2].

Problem chaosu jest jedną z dziedzin na nowo odkrywaną w fizyce. W 2021 nagrodę Nobla z fizyki przyznano za “przełomowy wkład w zrozumienie złożonych układów fizycznych”. Naukowcy zostali uhonorowani za badania, które pomagają modelować m.in. postępowanie globalnego ocieplenia (meteorologia jest świetnym przykładem chaosu). Badania te przyczyniły się również do poznania wielu innych zjawisk: od zachowania atomów, aktywności mózgu, stad ptaków, ewolucji lodowców a na ruchach planet skończywszy.

Jak widać, problem trzech i więcej ciał ma więc ogromne znaczenie w szeroko pojętej fizyce. Jednak okazuje się, że w podobny sposób można rozpatrywać zdecydowanie mniej oczywiste sytuacje, a zastosowania problemu wielu ciał można znaleźć w wielu dziedzinach:

Ekonomia

W ekonomii problem wielu ciał odnosi się do interakcji między różnymi podmiotami rynkowymi, takimi jak konsumenci, firmy, banki i rządy. Każdy z tych agentów wpływa na siebie nawzajem poprzez swoje decyzje ekonomiczne, podobnie jak ciała niebieskie wpływają na siebie nawzajem siłą grawitacji.

Na przykład, modele rynków finansowych często zakładają, że ceny aktywów są wynikiem interakcji między różnymi uczestnikami rynku, każdy z własnymi strategiami i informacjami. Niewielkie zmiany w zachowaniu jednego uczestnika mogą prowadzić do dużych i nieoczekiwanych zmian w całym systemie, co przypomina chaotyczne zachowanie w problemie trzech ciał.

Biologia

W biologii problem wielu ciał manifestuje się w interakcjach między różnymi organizmami w ekosystemie, a także np. w ekspresji genów [3]. Za pomocą takich właśnie modeli przewidywano rozwój pandemii, także COVID-19. W obu przypadkach, zrozumienie tych dynamicznych, złożonych systemów wymaga użycia zaawansowanych matematycznych i numerycznych metod symulacji, które pozwalają przewidywać zachowania systemów na podstawie danych wejściowych i warunków początkowych, podobnie jak w mechanice nieba. Choć analogie te są uproszczeniem, pozwalają one lepiej zrozumieć, jak skomplikowane interakcje wpływają na całe systemy, co jest kluczowe zarówno w ekonomii, jak i biologii. Innym przykładem jest ewolucja biologiczna. „Przypadek i konieczność”, jak to określił Jaques Monod, to kluczowe zjawiska, które doprowadziły do powstania złożonych organizmów biologicznych. 

Chemia

W chemii problem wielu ciał manifestuje się w dynamice molekularnej, gdzie symulacje komputerowe są używane do modelowania ruchów i interakcji atomów i cząsteczek w procesach takich jak reakcje chemiczne, składanie białek czy wiązanie ligandów. Te symulacje pomagają w zrozumieniu mechanizmów na poziomie molekularnym, co jest niezwykle ważne w projektowaniu leków i nowych materiałów.

Informatyka

W informatyce, metody numeryczne rozwijane do rozwiązywania problemów wielu ciał są stosowane w algorytmach optymalizacyjnych i symulacjach. Na przykład, algorytmy, które są używane do znalezienia najkrótszej ścieżki w problemach logistycznych lub do symulowania zachowań tłumów, korzystają z podobnych podejść do tych, które stosuje się w rozwiązywaniu problemów związanych z interakcjami wielu agentów.

Nauki humanistyczne

Problem trzech ciał i pojęcie złożonych systemów dynamicznych, choć pierwotnie rozwinięte w kontekście fizyki, znalazły również zastosowanie w naukach humanistycznych. W tych dziedzinach nie chodzi o dosłowne zastosowanie matematycznych modeli problemu trzech ciał, ale o zastosowanie metaforyczne i konceptualne zrozumienie systemów złożonych, które są fundamentalne dla zrozumienia ludzkich zachowań i interakcji społecznych. 

W socjologii, pojęcie złożonych systemów jest używane do analizy i modelowania interakcji społecznych, struktur społecznych oraz dynamiki grup. Na przykład, modelowanie złożonych sieci społecznych może pomóc w zrozumieniu, jak informacje lub zachowania rozprzestrzeniają się w społeczeństwie. Problem trzech ciał, w przenośni, może być użyty do badania, jak wprowadzenie nowego elementu (np. technologii, idei, czy polityki) może wpłynąć na istniejące relacje społeczne i struktury władzy.

Historycy natomiast mogą badać, jak różne siły (ekonomiczne, społeczne, polityczne) wzajemnie na siebie wpływają, prowadząc do nieoczekiwanych wyników wydarzeń historycznych, podobnie jak w problemie trzech ciał, gdzie trajektorie ciał są nieprzewidywalne, gdy są wzajemnie powiązane. Niestety wielka złożoność świata ludzi może być rozumiana tylko wstecz, a nawet znając obecny stan rzeczy, nie jesteśmy w stanie przewidzieć tego, co nadejdzie. Jak to podsumował duński fizyk Niels Bohr: “Przewidywanie jest bardzo trudne szczególnie, jeśli idzie o przyszłość”.

Fot. Unsplash

Bibliografia:

[1]  Z E Musielak, B Quarles 2014 Rep. Prog. Phys. 77 065901 https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0034-4885/77/6/065901
[2] The Three-Body Problem, Richard Montgomery https://www.scientificamerican.com/article/the-three-body-problem/
[3] Masaki Sasai, Peter G. Wolynes, Stochastic Gene Expression as a Many Body Problem  https://arxiv.org/ftp/cond-mat/papers/0301/0301365.pdf